공진 주파수

• 단위: Hz

스피커 유닛의 자체 공진 주파수($F_s$)는 해당 유닛이 재생할 수 있는 물리적인 저역의 하한선을 결정하는 가장 결정적인 팩터이다.

따라서 스피커의 재생 주파수 범위는 이 공진 주파수를 기준으로 설계되어야 한다.공진 주파수는 유닛이 자유 공기(Free Air) 상태에서 최소한의 에너지로도 가장 쉽게 움직이는 고유의 진동수이다. 유닛의 진동판을 손끝으로 툭툭 쳐보았을 때 느껴지는 특유의 음정이 바로 이 공진 주파수이다. 만약 어떤 유닛의 공진 주파수가 100Hz라면, 이 유닛은 대개 100Hz 이상의 대역을 안정적으로 재생하도록 설정해야 한다. 저음역을 담당하는 우퍼의 경우, 이 $F_s$ 근처와 그 이하의 대역을 인클로저 설계(밀폐형, 저음 반사형 등)를 통해 조율하며 저역 한계를 완성하게 된다.

반대로 이 공진 주파수 이하의 제어되지 않는 대역에서는 스피커 유닛의 반응 효율이 현저하게 떨어질 뿐만 아니라, 댐핑(제어력)을 잃고 과도하게 흔들려 드라이버가 물리적으로 파손될 위험이 크다. 저가형 PC 스피커나 소형 스피커에서 저역 제어가 제대로 되지 않아 통울림이 심한 박시(Boxy)한 소리가 나는 것도 이 공진 주파수 대역의 제어 실패와 관련이 깊다.

일반적으로 유닛별 $F_s$의 범위는 우퍼가 13~60Hz, 미드레인지가 60~500Hz, 트위터가 500Hz~4kHz 사이에 위치하며, 이 수치들이 각 드라이버가 맡을 수 있는 최저 진동수의 시작점이 된다.

공진 주파수는 유닛의 강성 및 유연성, 움직이는 부분의 질량에 의해서 계산되며 아래의 공식을 따른다.

$$f_s \approx \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{t}{2r^2} \cdot \mu \sqrt{\frac{E}{3d(1-p^2)}}$$

• $t$: Thickness, 진동판의 두께
• $r$: Radius, 진동판의 반지름
• $\mu$: Root of frequency equation
• $d$: Density, 진동판의 밀도
• $p$: Poisson's ratio, 포아송 비

위 공식에서 등장하는 여러가지 상수와 포아송 비를 빼고 식을 간단하게 만들면 아래와 같다.

$$f_s \approx \frac{t}{a} \sqrt{\frac{E}{d}}$$

• $t$: Thickness, 진동판의 두께
• $a$: Area, 진동판의 면적
• $E$: Young's Modulus, 영률(탄성계수)
• $d$: Density, 진동판의 밀도

여기서 $\sqrt{\frac{E}{d}}$는 매질에서 소리의 파동이 전달되는 속도를 나타내기도 한다. 즉 위 공식에 따르면, 진동판의 두께가 얇고, 면적이 넓고, 밀도가 낮을 수록 진동판의 공진 주파수는 낮아진다.

틸/스몰 변수에서는 아래와 같이 기술하기도 한다.³⁾

$$f_s \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s}{M_{ms}}} \approx \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{C_{ms} \cdot M_{ms}}}$$

• $s$: 스티프니스(Stiffness), 강성
• $C_{ms}$: 컴플라이언스(Compliance), 유연성
• $M_{ms}$: 매쓰(Mass), 유닛의 움직이는 부분의 질량

유닛의 움직이는 파트의 질량이 무겁고 유연성이 높을수록 공진 주파수는 낮아진다.

병에 물을 채우고 치거나 입구에 바람을 불어 공명시키면 음정이 나오고, 물의 양을 조절함으로써 다양한 음정이 나오지만 병의 자체적인 공진 주파수(물을 비웠을 때 나는 소리) 이하의 주파수는 낼 수 없다. 공진 주파수 $F_s$가 의미하는 것도 이와 비슷하다.

진동판 공식과 Thiele-Small 공식은 강성(stiffness)과 질량(mass)을 서로 다른 관점에서 표현합니다.

• 진동판 공식: 재료 특성(영률, 밀도)과 기하학적 구조(두께, 면적) 기반
• Thiele-Small 공식: 기계적 특성(컴플라이언스, 이동 질량) 기반

공식 대조

진동판의 강성은 재료 강성과 구조 강성의 조합입니다.

• 진동판의 강성 : $s = \frac{E \cdot t^3}{a}$

컴플라이언스는 강성의 역수:

• $C_{ms}$ : $\frac{1}{s} = \frac{a}{E \cdot t^3}$

진동판의 질량은 부피와 밀도로 결정됩니다:

• $M_{ms} = d \cdot (a \cdot t)$(면적×두께 = 부피)

Cms와 Mms를 Thiele-Small 공식에 적용:

$$F_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{C_{ms} \cdot M_{ms}}}$$ $$F_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{\frac{a}{E \cdot t^3} \cdot (d \cdot a \cdot t)}}$$ $$F_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{E \cdot t^2}{d \cdot a^2}}$$ $$F_s = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{t}{a} \sqrt{\frac{E}{d}}$$

• 컴플라이언스 증가 → 진동판 면적↑/두께↓/재료 유연성↑
• 이동 질량 증가 → 진동판 밀도↑/두께↑/면적↑
• 두 공식은 재료 특성 ⇄ 기계적 성능의 변환 관계를 보여줍니다.

• 저음 확장: $F_s$를 낮추려면 $M_{ms} \uparrow$(무거운 진동판) + $C_{ms} \uparrow$(유연한 서스펜션)
• 고효율 설계: $F_s$를 높이려면 $M_{ms} \downarrow$(가벼운 진동판) + $C_{ms} \downarrow$(단단한 서스펜션)
• 이 유도 과정은 스피커 설계 시 재료 선택과 기계적 튜닝을 체계적으로 연결해 줍니다.