음향학:wave:plane_wave
차이
문서의 선택한 두 판 사이의 차이를 보여줍니다.
| 양쪽 이전 판이전 판 | |||
| 음향학:wave:plane_wave [2026/10/01] – 제거됨 - 바깥 편집 (알 수 없는 날짜) 127.0.0.1 | 음향학:wave:plane_wave [2026/10/01] (현재) – ↷ 문서가 음향학:sound_behavior:wave:plane_wave에서 음향학:wave:plane_wave(으)로 이동되었습니다 정승환 | ||
|---|---|---|---|
| 줄 1: | 줄 1: | ||
| + | ====== 평면파 ====== | ||
| + | **평면파(Plane Wave)**는 파동의 진행 방향에 수직인 임의의 평면상에서 파동의 위상(Phase), | ||
| + | |||
| + | 현실에서 완전한 평면파를 생성하려면 무한히 넓은 진동판이 필요하므로 관념적인 이상적 파동 모델이나, | ||
| + | |||
| + | ====== 1. 평면파의 기본 파동 방정식 ====== | ||
| + | |||
| + | 3차원 공간에서 음압 $p(\mathbf{r}, | ||
| + | |||
| + | $$\nabla^2 p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$ | ||
| + | |||
| + | 여기서 파동이 $+x$ 방향으로만 진행한다고 가정하면, | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$ | ||
| + | |||
| + | ====== 2. 음압(Pressure)의 해 ====== | ||
| + | |||
| + | 위 1차원 파동 방정식의 일반해는 딜랑베르(d' | ||
| + | |||
| + | $$p(x, t) = P_m e^{j(\omega t - kx)}$$ | ||
| + | |||
| + | * $P_m$: 음압의 진폭 (Pressure Amplitude, $\text{Pa}$) | ||
| + | * $\omega$: 각주파수 (Angular Frequency, $\text{rad/ | ||
| + | * $k$: 파수 (Wavenumber, | ||
| + | * $c$: 매질 내 음속 (Sound Speed, $\text{m/ | ||
| + | |||
| + | **특징:** | ||
| + | * 진행 거리 $x$에 따른 **음압 진폭의 감쇄가 없다** ($P_m = \text{Constant}$). | ||
| + | * 진행 방향 수직면($x = \text{Const}$)상의 모든 지점에서 위상이 일치한다. | ||
| + | |||
| + | ====== 3. 입자 속도(Particle Velocity)와의 관계 ====== | ||
| + | |||
| + | 선형 오일러 운동 방정식(Linearized Euler' | ||
| + | |||
| + | $$\rho_0 \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x}$$ | ||
| + | |||
| + | 여기서 $\rho_0$는 매질의 평형 밀도이다. 음압 $p(x, t) = P_m e^{j(\omega t - kx)}$를 대입하여 미분하면 다음과 같다. | ||
| + | |||
| + | $$\rho_0 (j\omega) u(x, t) = -(-jk) P_m e^{j(\omega t - kx)} = jk p(x, t)$$ | ||
| + | |||
| + | $k = \frac{\omega}{c}$ 관계식을 적용하여 정돈하면 평면파에서의 **입자 속도 $u(x, t)$** 공식이 도출된다. | ||
| + | |||
| + | $$u(x, t) = \frac{p(x, t)}{\rho_0 c}$$ | ||
| + | |||
| + | ====== 4. 고유 음향 임피던스 (Specific Acoustic Impedance) ====== | ||
| + | |||
| + | 음장 내 임의 지점에서 음압 $p$와 입자 속도 $u$의 비율을 **고유 음향 임피던스($Z$)**라 한다. | ||
| + | |||
| + | $$Z = \frac{p(x, t)}{u(x, t)} = \rho_0 c$$ | ||
| + | |||
| + | **평면파 임피던스의 핵심 성질:** | ||
| + | - **순수 실수값(Real Value)**: 허수 성분이 존재하지 않는다. 이는 음압($p$)과 입자 속도($u$)가 **완전한 동위상(In-phase, | ||
| + | - **특성 임피던스(Characteristic Impedance)**: | ||
| + | |||
| + | ====== 5. 에너지 밀도 및 음향 강도 ====== | ||
| + | |||
| + | ===== 5.1. 음향 에너지 밀도 (Acoustic Energy Density, $w$) ===== | ||
| + | 단위 부피당 음향 에너지는 운동 에너지 밀도($w_k$)와 위치(압축) 에너지 밀도($w_p$)의 합으로 나타난다. | ||
| + | |||
| + | $$w = w_k + w_p = \frac{1}{2}\rho_0 u^2 + \frac{1}{2}\frac{p^2}{\rho_0 c^2}$$ | ||
| + | |||
| + | 평면파에서는 $u = \frac{p}{\rho_0 c}$이므로, | ||
| + | |||
| + | $$w = \frac{p^2}{\rho_0 c^2}$$ | ||
| + | |||
| + | 시간 평균 에너지 밀도 $\bar{w}$는 다음과 같다. ($P_{rms}$는 음압의 실효값) | ||
| + | |||
| + | $$\bar{w} = \frac{P_{rms}^2}{\rho_0 c^2} = \frac{P_m^2}{2\rho_0 c^2}$$ | ||
| + | |||
| + | ===== 5.2. 음향 강도 (Acoustic Intensity, $I$) ===== | ||
| + | 단위 면적을 통과하는 단위 시간당 에너지 전파량(시간 평균 파워 밀도)을 의미한다. | ||
| + | |||
| + | $$I = \langle p(t) \cdot u(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) u(t) \, dt$$ | ||
| + | |||
| + | 평면파에서는 $u(t) = \frac{p(t)}{\rho_0 c}$이므로 다음과 같이 단순화된다. | ||
| + | |||
| + | $$I = \frac{P_{rms}^2}{\rho_0 c} = \frac{P_m^2}{2\rho_0 c}$$ | ||
| + | |||
| + | 또한 에너지 밀도와 음속의 곱으로도 표현된다. | ||
| + | |||
| + | $$I = \bar{w} \cdot c$$ | ||
| + | |||
| + | ====== 6. 구면파와의 성질 비교 요약 ====== | ||
| + | |||
| + | ^ 항목 ^ 평면파 (Plane Wave) ^ 구면파 (Spherical Wave) ^ | ||
| + | | **파면 형태** | 진행 방향에 수직인 평면 | 동심원 구면 | | ||
| + | | **거리 감쇄** | 감쇄 없음 ($p \propto 1$) | 거리 $r$에 반비례 감쇄 ($p \propto 1/r$) | | ||
| + | | **음압-속도 위상차** | 동위상 ($0^\circ$) | 근수음장에서 위상차 존재 (입자 속도가 앞섬) | | ||
| + | | **음향 임피던스 ($Z = p/u$)** | 실수 상수 ($\rho_0 c$) | 복소수 $Z(r) = \rho_0 c \left( \frac{jkr}{1 + jkr} \right)$ | | ||
| + | | **무효 에너지 성분** | 없음 (전체 에너지가 유효 전파) | 근수음장에 유체역학적 순환(Circulation) 무효 성분 존재 | | ||
| + | |||
| + | {{tag> | ||
[공지]회원 가입 방법
[공지]글 작성 및 수정 방법