평면파(Plane Wave)는 파동의 진행 방향에 수직인 임의의 평면상에서 파동의 위상(Phase), 음압(Pressure), 입자 속도(Particle Velocity) 등 모든 음장 특성이 일정한 파동을 의미한다.

현실에서 완전한 평면파를 생성하려면 무한히 넓은 진동판이 필요하므로 관념적인 이상적 파동 모델이나, 점음원에서 발생한 구면파(Spherical Wave)라 할지라도 음원으로부터 거리가 충분히 멀어지면 곡률이 0에 수렴하므로 국소적으로 평면파로 간주(Plane Wave Approximation)하여 해석한다.

3차원 공간에서 음압 $p(\mathbf{r}, t)$에 대한 동차 파동 방정식(Homogeneous Wave Equation)은 다음과 같다.

$$\nabla^2 p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$

여기서 파동이 $+x$ 방향으로만 진행한다고 가정하면, $y$ 및 $z$ 방향에 대한 미분항이 0이 되므로 1차원 파동 방정식으로 단순화된다.

$$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$

위 1차원 파동 방정식의 일반해는 딜랑베르(d'Alembert)의 해에 의해 진행파와 반사파의 합으로 표현된다. 단일 주파수를 갖는 조화 파동(Harmonic Wave)의 복소 표현식은 다음과 같다.

$$p(x, t) = P_m e^{j(\omega t - kx)}$$

• $P_m$: 음압의 진폭 (Pressure Amplitude, $\text{Pa}$)
• $\omega$: 각주파수 (Angular Frequency, $\text{rad/s}$), $\omega = 2\pi f$
• $k$: 파수 (Wavenumber, $\text{rad/m}$), $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$
• $c$: 매질 내 음속 (Sound Speed, $\text{m/s}$)

특징:

• 진행 거리 $x$에 따른 음압 진폭의 감쇄가 없다 ($P_m = \text{Constant}$).
• 진행 방향 수직면($x = \text{Const}$)상의 모든 지점에서 위상이 일치한다.

선형 오일러 운동 방정식(Linearized Euler's Equation)에 의해 매질 입자의 진동 속도 $u(x, t)$와 음압 경사(Pressure Gradient) 사이에는 다음 관계가 성립한다.

$$\rho_0 \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x}$$

여기서 $\rho_0$는 매질의 평형 밀도이다. 음압 $p(x, t) = P_m e^{j(\omega t - kx)}$를 대입하여 미분하면 다음과 같다.

$$\rho_0 (j\omega) u(x, t) = -(-jk) P_m e^{j(\omega t - kx)} = jk p(x, t)$$

$k = \frac{\omega}{c}$ 관계식을 적용하여 정돈하면 평면파에서의 입자 속도 $u(x, t)$ 공식이 도출된다.

$$u(x, t) = \frac{p(x, t)}{\rho_0 c}$$

음장 내 임의 지점에서 음압 $p$와 입자 속도 $u$의 비율을 고유 음향 임피던스($Z$)라 한다.

$$Z = \frac{p(x, t)}{u(x, t)} = \rho_0 c$$

평면파 임피던스의 핵심 성질:

1. 순수 실수값(Real Value): 허수 성분이 존재하지 않는다. 이는 음압($p$)과 입자 속도($u$)가 완전한 동위상(In-phase, 위상차 $0^\circ$)으로 진동함을 의미한다.
2. 특성 임피던스(Characteristic Impedance): $\rho_0 c$는 파동의 형태나 위치에 의존하지 않고 오직 매질의 물리적 특성(밀도 $\rho_0$ 및 음속 $c$)에 의해서만 결정되는 고유 상수이다. (예: $20^\circ\text{C}$ 공기 중에서 $\rho_0 c \approx 415 \text{ N}\cdot\text{s/m}^3$ 또는 $\text{Rayl}$)

단위 부피당 음향 에너지는 운동 에너지 밀도($w_k$)와 위치(압축) 에너지 밀도($w_p$)의 합으로 나타난다.

$$w = w_k + w_p = \frac{1}{2}\rho_0 u^2 + \frac{1}{2}\frac{p^2}{\rho_0 c^2}$$

평면파에서는 $u = \frac{p}{\rho_0 c}$이므로, 운동 에너지와 위치 에너지가 정확히 동일하다.

$$w = \frac{p^2}{\rho_0 c^2}$$

시간 평균 에너지 밀도 $\bar{w}$는 다음과 같다. ($P_{rms}$는 음압의 실효값)

$$\bar{w} = \frac{P_{rms}^2}{\rho_0 c^2} = \frac{P_m^2}{2\rho_0 c^2}$$

단위 면적을 통과하는 단위 시간당 에너지 전파량(시간 평균 파워 밀도)을 의미한다.

$$I = \langle p(t) \cdot u(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) u(t) \, dt$$

평면파에서는 $u(t) = \frac{p(t)}{\rho_0 c}$이므로 다음과 같이 단순화된다.

$$I = \frac{P_{rms}^2}{\rho_0 c} = \frac{P_m^2}{2\rho_0 c}$$

또한 에너지 밀도와 음속의 곱으로도 표현된다.

$$I = \bar{w} \cdot c$$