구면파(Spherical Wave)는 3차원 공간상의 한 점음원(Point Source)에서 발생하여 모든 방향으로 방사상(Radial)으로 균일하게 퍼져나가는 파동을 의미한다. 파면(Wavefront)이 음원을 중심으로 하는 동심원 구면 형태를 이룬다.

음원 근처(근수음장)에서는 음압과 입자 속도 간의 복잡한 위상차 및 무효 에너지 성분이 존재하며, 음원으로부터 거리가 매우 멀어지면 곡률이 감소하여 평면파(Plane Wave)의 특성에 수렴한다.

3차원 공간에서 구좌표계(Spherical Coordinate System, $(r, \theta, \phi)$)를 적용할 때, 음원이 구대칭(Spherically Symmetric)으로 방사한다고 가정하면 각도 성분($\theta, \phi$)에 대한 미분항이 0이 된다.

반지름 방향 거리 $r$에 대한 3차원 구좌표계 파동 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial p}{\partial r} \right) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$

위 식은 $r \cdot p$ 변수를 이용해 다음과 같은 1차원 파동 방정식 형태로 변환할 수 있다.

$$\frac{\partial^2 (rp)}{\partial r^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 (rp)}{\partial t^2} = 0$$

방향으로 바깥으로 퍼져나가는 발산 조화파(Diverging Harmonic Wave)의 복소 음압 $p(r, t)$ 표현식은 다음과 같다.

$$p(r, t) = \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)}$$

• $A$: 음원 강도에 의해 결정되는 복소 진폭 상수
• $r$: 음원 중심으로부터의 거리 ($\text{m}$)
• $k$: 파수 (Wavenumber, $\text{rad/m}$), $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$

특징:

• 역거리 법칙 ($1/r$ 감쇄): 에너지 보존 법칙에 의해 파면 면적($4\pi r^2$)이 확장되므로, 음압 진폭이 거리에 반비례하여 감소한다.
• 거리 $r$이 커질수록 파면의 곡률이 커지지만 local 구역에서는 평면파 형태로 변환된다.

반지름 방향의 오일러 운동 방정식(Euler's Equation)을 적용한다.

$$\rho_0 \frac{\partial u_r}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial r}$$

음압 해 $p(r, t) = \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)}$를 $r$에 대해 편미분하면:

$$\frac{\partial p}{\partial r} = -\left( \frac{1}{r} + jk \right) \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)} = -\left( \frac{1}{r} + jk \right) p(r, t)$$

이를 오일러 방정식에 대입하여 시간을 정분하면 구면파에서의 입자 속도 $u_r(r, t)$ 공식이 도출된다.

$$u_r(r, t) = \frac{p(r, t)}{\rho_0 c} \left( 1 + \frac{1}{jkr} \right) = \frac{p(r, t)}{\rho_0 c} \left( 1 - j\frac{1}{kr} \right)$$

속도 성분의 분해:

1. 실수 성분 ($\frac{p}{\rho_0 c}$): 음압과 동위상인 성분으로, 파동의 실효 에너지를 외부로 전달한다. (평면파 성분)
2. 허수 성분 ($-j\frac{p}{\rho_0 c \cdot kr}$): 음압보다 위상이 $90^\circ$ 지연된 허수 성분이다. 음원 근처에서 매질이 직진하지 못하고 측면으로 순환 진동하는 유체역학적 무효 성분(Near-field Circulation)이다.

구면파의 고유 음향 임피던스 $Z_s(r)$는 음압과 입자 속도의 비율로 정의되며, 거리 $r$과 주파수의 함수이다.

$$Z_s(r) = \frac{p(r, t)}{u_r(r, t)} = \frac{\rho_0 c}{1 + \frac{1}{jkr}} = \rho_0 c \left( \frac{jkr}{1 + jkr} \right)$$

실수부와 허수부로 분리하여 정리하면:

$$Z_s(r) = \rho_0 c \left[ \frac{(kr)^2}{1 + (kr)^2} + j \frac{kr}{1 + (kr)^2} \right]$$

• $Z_s(r) \approx j \rho_0 c (kr)$
• 임피던스가 거의 순수 허수(유도성/질량성) 형태를 취한다.
• 음압에 비해 입자 속도 $u_r$ 성분이 비정상적으로 급격하게 커진다.
• 음향학적 영향: 지향성 마이크(압력경사형)를 음원에 가까이 붙일 때 저음역대($\lambda$가 크므로 $kr$이 매우 작아짐)가 과도하게 강조되는 근접 효과(Proximity Effect)의 직접적인 원인이 된다.

• $\lim_{r \to \infty} Z_s(r) = \rho_0 c$
• 허수 성분이 0으로 수렴하여 평면파의 특성 임피던스와 일치하게 된다.
• 음압과 입자 속도가 완전히 동위상을 이룬다.

구면파의 복소 음향 강도 벡터의 실수부를 취해 시간 평균 음향 강도를 계산한다.

$$I(r) = \frac{1}{2} \text{Re} \left\{ p(r) \cdot u_r^*(r) \right\} = \frac{|A|^2}{2 \rho_0 c r^2} = \frac{P_{rms}^2(r)}{\rho_0 c}$$

허수 성분(무효 파워)은 시간 평균 시 0이 되므로, 실질적으로 전파되는 에너지 강도 $I(r)$는 거리의 제곱에 반비례($1/r^2$)한다.

반지름 $r$인 구면 전체를 통과하는 총 음향 파워 $W$는 음강도를 전 면적에 대해 적분한 값이다.

$$W = \iint_{S} I(r) \, dS = I(r) \cdot (4\pi r^2) = \frac{4\pi |A|^2}{2 \rho_0 c} = \text{Constant}$$

매질 내 에너지 손실이 없다면 구면파의 총 방사 파워 $W$는 거리에 관계없이 일정하게 유지된다.