음향학:wave:spherical_wave
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| + | ====== 구면파 ====== | ||
| + | **구면파(Spherical Wave)**는 3차원 공간상의 한 점음원(Point Source)에서 발생하여 모든 방향으로 방사상(Radial)으로 균일하게 퍼져나가는 파동을 의미한다. 파면(Wavefront)이 음원을 중심으로 하는 동심원 구면 형태를 이룬다. | ||
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| + | 음원 근처(근수음장)에서는 음압과 입자 속도 간의 복잡한 위상차 및 무효 에너지 성분이 존재하며, | ||
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| + | ====== 1. 구면파의 기본 파동 방정식 ====== | ||
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| + | 3차원 공간에서 구좌표계(Spherical Coordinate System, $(r, \theta, \phi)$)를 적용할 때, 음원이 구대칭(Spherically Symmetric)으로 방사한다고 가정하면 각도 성분($\theta, | ||
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| + | 반지름 방향 거리 $r$에 대한 3차원 구좌표계 파동 방정식은 다음과 같다. | ||
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| + | $$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial p}{\partial r} \right) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0$$ | ||
| + | |||
| + | 위 식은 $r \cdot p$ 변수를 이용해 다음과 같은 1차원 파동 방정식 형태로 변환할 수 있다. | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\partial^2 (rp)}{\partial r^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 (rp)}{\partial t^2} = 0$$ | ||
| + | |||
| + | ====== 2. 음압(Pressure)의 해 ====== | ||
| + | |||
| + | 방향으로 바깥으로 퍼져나가는 발산 조화파(Diverging Harmonic Wave)의 복소 음압 $p(r, t)$ 표현식은 다음과 같다. | ||
| + | |||
| + | $$p(r, t) = \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)}$$ | ||
| + | |||
| + | * $A$: 음원 강도에 의해 결정되는 복소 진폭 상수 | ||
| + | * $r$: 음원 중심으로부터의 거리 ($\text{m}$) | ||
| + | * $k$: 파수 (Wavenumber, | ||
| + | |||
| + | **특징:** | ||
| + | * **역거리 법칙 ($1/r$ 감쇄)**: 에너지 보존 법칙에 의해 파면 면적($4\pi r^2$)이 확장되므로, | ||
| + | * 거리 $r$이 커질수록 파면의 곡률이 커지지만 local 구역에서는 평면파 형태로 변환된다. | ||
| + | |||
| + | ====== 3. 입자 속도(Particle Velocity)의 도출 ====== | ||
| + | |||
| + | 반지름 방향의 오일러 운동 방정식(Euler' | ||
| + | |||
| + | $$\rho_0 \frac{\partial u_r}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial r}$$ | ||
| + | |||
| + | 음압 해 $p(r, t) = \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)}$를 $r$에 대해 편미분하면: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\partial p}{\partial r} = -\left( \frac{1}{r} + jk \right) \frac{A}{r} e^{j(\omega t - kr)} = -\left( \frac{1}{r} + jk \right) p(r, t)$$ | ||
| + | |||
| + | 이를 오일러 방정식에 대입하여 시간을 정분하면 구면파에서의 **입자 속도 $u_r(r, t)$** 공식이 도출된다. | ||
| + | |||
| + | $$u_r(r, t) = \frac{p(r, t)}{\rho_0 c} \left( 1 + \frac{1}{jkr} \right) = \frac{p(r, t)}{\rho_0 c} \left( 1 - j\frac{1}{kr} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | **속도 성분의 분해:** | ||
| + | - **실수 성분 ($\frac{p}{\rho_0 c}$)**: 음압과 동위상인 성분으로, | ||
| + | - **허수 성분 ($-j\frac{p}{\rho_0 c \cdot kr}$)**: 음압보다 위상이 $90^\circ$ 지연된 허수 성분이다. 음원 근처에서 매질이 직진하지 못하고 측면으로 순환 진동하는 **유체역학적 무효 성분(Near-field Circulation)**이다. | ||
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| + | ====== 4. 고유 음향 임피던스 (Specific Acoustic Impedance) ====== | ||
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| + | 구면파의 고유 음향 임피던스 $Z_s(r)$는 음압과 입자 속도의 비율로 정의되며, | ||
| + | |||
| + | $$Z_s(r) = \frac{p(r, t)}{u_r(r, t)} = \frac{\rho_0 c}{1 + \frac{1}{jkr}} = \rho_0 c \left( \frac{jkr}{1 + jkr} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | 실수부와 허수부로 분리하여 정리하면: | ||
| + | |||
| + | $$Z_s(r) = \rho_0 c \left[ \frac{(kr)^2}{1 + (kr)^2} + j \frac{kr}{1 + (kr)^2} \right]$$ | ||
| + | |||
| + | ===== 4.1. 근수음장 (Near Field, $kr \ll 1$ 또는 $r \ll \lambda$) ===== | ||
| + | * $Z_s(r) \approx j \rho_0 c (kr)$ | ||
| + | * 임피던스가 거의 순수 허수(유도성/ | ||
| + | * 음압에 비해 **입자 속도 $u_r$ 성분이 비정상적으로 급격하게 커진다.** | ||
| + | * **음향학적 영향**: 지향성 마이크(압력경사형)를 음원에 가까이 붙일 때 저음역대($\lambda$가 크므로 $kr$이 매우 작아짐)가 과도하게 강조되는 **근접 효과(Proximity Effect)**의 직접적인 원인이 된다. | ||
| + | |||
| + | ===== 4.2. 원수음장 (Far Field, $kr \gg 1$ 또는 $r \gg \lambda$) ===== | ||
| + | * $\lim_{r \to \infty} Z_s(r) = \rho_0 c$ | ||
| + | * 허수 성분이 0으로 수렴하여 **평면파의 특성 임피던스와 일치**하게 된다. | ||
| + | * 음압과 입자 속도가 완전히 동위상을 이룬다. | ||
| + | |||
| + | ====== 5. 에너지 밀도 및 음향 파워 ====== | ||
| + | |||
| + | ===== 5.1. 시간 평균 음향 강도 (Acoustic Intensity, $I$) ===== | ||
| + | 구면파의 복소 음향 강도 벡터의 실수부를 취해 시간 평균 음향 강도를 계산한다. | ||
| + | |||
| + | $$I(r) = \frac{1}{2} \text{Re} \left\{ p(r) \cdot u_r^*(r) \right\} = \frac{|A|^2}{2 \rho_0 c r^2} = \frac{P_{rms}^2(r)}{\rho_0 c}$$ | ||
| + | |||
| + | 허수 성분(무효 파워)은 시간 평균 시 0이 되므로, 실질적으로 전파되는 에너지 강도 $I(r)$는 거리의 제곱에 반비례($1/ | ||
| + | |||
| + | ===== 5.2. 총 음향 파워 (Total Acoustic Power, $W$) ===== | ||
| + | 반지름 $r$인 구면 전체를 통과하는 총 음향 파워 $W$는 음강도를 전 면적에 대해 적분한 값이다. | ||
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| + | $$W = \iint_{S} I(r) \, dS = I(r) \cdot (4\pi r^2) = \frac{4\pi |A|^2}{2 \rho_0 c} = \text{Constant}$$ | ||
| + | |||
| + | 매질 내 에너지 손실이 없다면 구면파의 총 방사 파워 $W$는 거리에 관계없이 일정하게 유지된다. | ||
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| + | ====== 6. 평면파와의 비교 요약 ====== | ||
| + | |||
| + | ^ 항목 ^ 구면파 (Spherical Wave) ^ 평면파 (Plane Wave) ^ | ||
| + | | **파면 형태** | 동심원 구면 | 평면 | | ||
| + | | **거리 감쇄** | $p(r) \propto 1/r$ (역거리 법칙) | 감쇄 없음 ($p \propto 1$) | | ||
| + | | **입자 속도 ($u$)** | $u = \frac{p}{\rho_0 c}\left(1 + \frac{1}{jkr}\right)$ | $u = \frac{p}{\rho_0 c}$ | | ||
| + | | **임피던스 ($Z$)** | 복소수 $Z(r)$, 거리와 주파수에 의존 | 실수 상수 ($\rho_0 c$) | | ||
| + | | **근수음장 특성** | 음압 대비 입자 속도 과도 유발 (근접 효과) | 없음 | | ||
| + | | **파워 밀도 감쇄** | $I(r) \propto 1/r^2$ (역제곱 법칙) | 감쇄 없음 ($I = \text{Const}$) | | ||
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