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--- 음향:digital:pcm:nyquist-shannon_theorem [2024/02/20] – [나이퀴스트 정리] 정승환
+++ 음향:digital:pcm:nyquist-shannon_theorem [2024/12/28] (현재) – 정승환
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 ======나이퀴스트 정리======
-나이퀴스트 정리는 주기적인 신호가 신호의 가장 높은 주파수 구성 요소의 두 배 이상으로 샘플링되어야 한다는 내용이다.
+**Nyquist-Shannon Sampling Theorem**
-{{:음향:digital:pcm:20240220-041100.png}}
+**나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리**는 디지털 신호 처리에서 매우 중요한 이론입니다. 이 정리는 **아날로그 신호를 디지털로 변환할 때, 원래 신호를 손실 없이 복원하기 위해서는 신호의 최고 주파수의 두 배 이상의 샘플링 속도로 샘플링해야 한다**는 내용을 담고 있습니다.
-======Nyquist's theorem======
+  * 아날로그 신호의 최고 주파수가 f<sub>max</sub>일 때, 신호를 왜곡 없이 디지털화하려면 최소 2 x f<sub>max</sub>의 샘플링 속도가 필요합니다.
+  * 이를 **나이퀴스트 속도**라고 부르며, 이 속도보다 낮은 샘플링 속도로 샘플링하면 앨리어싱(Aliasing)이라는 왜곡이 발생하게 됩니다.
-Nyquist's theorem states that a periodic signal must be sampled at more than twice the highest frequency component of the signal
+예를 들어, 사람의 가청 주파수 범위가 약 20kHz까지이므로, CD 오디오에서는 44.1kHz로 샘플링하여 이를 충족시킵니다.
-=====앨리어싱 에러=====
-**Aliasing error**
-사람의 일반적인 가청 주파수는 20Hz-20kHz인데, 사람이 듣는 가청 주파수의 소리를 디지털로 저장하려면 20Hz-20kHz의 범위를 저장해야 한다. 하지만 **나이퀴스트**라는 사람이 발견한 법칙에 의하면, 20kHz의 소리를 디지털로 표본화 하려면 최소 1 cycle의 파형 당 2개의 점을 취득해야 하므로 40kHz의 간격으로 점을 찍어야 한다.(디지털 표본화) 다시 말해서 어떤 주파수를 디지털로 샘플링한 후, 다시 원래의 소리로 재생하려면 해당 주파수의 2배의 주파수로 샘플링해야 한다. 만약 20kHz의 소리를 샘플링 하려면 40kHz 간격으로 점을 찍으면 된다.
+{{:음향:digital:pcm:20240220-041100.png}}
-{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-024908.png}}
-근데 여기서 하나의 전제 조건이 필요하다. 20kHz를 40kHz로 디지털 표본화할 때, 절대로 20kHz 이상의 소리가 들어와서는 안된다. 우리는 평소에 사람의 가청 주파수가 20Hz-20kHz이기 때문에 20kHz 이상이 안들리고 있을 뿐이지, 실제 자연계에는 20kHz 이상의 소리도 존재한다. 만약 30kHz의 소리가 들어오면 그것도 40kHz의 간격으로 샘플링 될 것이고,그 경우엔 1cycle의 파형 당 2개의 점을 찍기에 모자르게 된다. 위 그림에서 C와 같은 상황. 다시 원상 복구하면 전혀 엉뚱한 신호로 재생된다. 이러한 현상을 Alias error라고 한다.
-{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-024919.png}}
-{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-024929.png}}
-=====Anti-aliasing filter=====
-그래서 20kHz 이상의 소리가 샘플링 되지 않도록 샘플링하기 전에 아날로그 필터를 사용하여 20kHz 이상의 소리를 지워야 한다. 그것을 Anti-aliasing filter라고 한다.
-[{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-024940.png|신호 처리에 사용되는 다양한 필터들}}]
-하지만 아무리 필터 성능이 좋다고 해도 그래프를 보면 알겠지만, 20kHz 이상이 완벽히 지워지는 곳은 필터의 차단 주파수(Cut-off frequency)가 시작되고도 한참 위의 주파수이다. 필터의 기울기((Order))를 높게 설계하면 좀 더 가파르게 되지만, 그렇게 하면 필터의 다른 성능((노이즈 플로어, 위상 왜곡))이 떨어지게 된다.
-{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-025056.png}}
-에를 들어, 위에 있는 Butterworth 필터에서, 만약 1 을 기준으로 3 까지 -60dB((다 없에는 것도 아니고 -60dB임))를 떨어뜨릴 수 있는 가장 성능 좋은 필터를 사용한다 가정했을 때, 1 에 20kHz 란 수치를 대입하면, 60kHz 까지는 소리를 완벽히 없에는 것이 불가능하고, 그렇다면, 이론 상 60kHz라는 샘플링 레이트를 사용해서 표본화 해야 한다. 하지만 -60dB 정도까지 낮추는 것이지, 완벽하게 제거한 것은 아니기 때문에, 결국 alias error로 폴딩되어서 가청 주파수 중 낮은 주파수 쪽에 이 alias error가 노이즈 플로어((그래서 컨버터의 다이나믹 레인지가 24bit가 이론 상 144dB 임에도 불구하고 24bit 컨버터의 경우 120dB정도의 성능이면 상당히 좋은 컨버터이다. 차이인 24dB 가 노이즈 플로어로 존재한다))로 존재하게 될 것이다.
-{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-025127.png}}
-=====Over-sampling=====
-아날로그 필터만을 안티 앨리어스 필터로 사용하는 것은 현실적인 어려움이 있기 때문에, 추가로 오버샘플링이란 기술을 사용하기도 한다.
-아날로그만으로 가장 성능 좋은 필터를 쓰는 것도 기술 및 비용 상 어려울 수 있다. 장비의 제작비용이 올라갈 수 있고, 필터의 부가 효과인 위상 왜곡((필터의 기울기가 가파를수록 위상 왜곡 은 증가한다))이 발생할 수 있다.
-[{{음향:digital:sample_rate:pasted:20220113-025140.png|Filter Gain & Phase}}]
-소리의 위상 왜곡이 필터의 Cut-off frequency 보다 훨씬 낮은 주파수부터 시작하기 때문에 고음역대의 왜곡이 있을 수 있다.
-결국, 이런 것들을 모두 고려하면, 가청 주파수인 20Hz~ 20kHz를 온전하게 제대로 샘플링하고 재생하기 위해서는((이상적으로 20kHz 이상의 주파수가 샘플링 되어 alias error 가 되지 않게 하는, 즉  완벽히 차단할 수 있는 아날로그 Brickwall filter 는 없기 때문이다.)) alias filter도 최고 성능으로 설계하고, 샘플링 레이트도 96kHz 나 192kHz로 높혀서 샘플링하고, 오버샘플링 기술도 사용해야 alias error에 의한 노이즈 플로어도 낮추고, 위상 왜곡도 줄일 수 있다고 본다.((alias error를 완벽하게 줄일 수 없다. 자연계에는 20kHz 이상의 소리도 있기 때문이다. 그리고 alias erros가 컨버터 칩의 노이즈 플로어가 된다.))
-어차피, 당연하지만 사람은 20kHz 이상의 주파수를 듣지 못하니까 주파수 대역이 높아진다는 의미보다는 "노이즈 플로어"의 감쇄와, "위상 왜곡"의 최소화에 효과가 있다고 보면된다.
-<bootnote>
-kHz 나 44.1kHz로 샘플링하는 A/D 컨버터의 경우 아날로그 Anti-Alias 필터 성능이 아주 좋아야 하기 때문에, 하이엔드 컨버터와, 저렴한 오디오 인터페이스간의 음질의 간극이 매우 크게 느껴집니다. 아날로그 필터의 성능에 크게 의존하게 되기 때문입니다. 하지만 96kHz 나 192kHz의 샘플링 레이트에서는 하이엔드 컨버터와 일반 기기를 비교하면 크게 차이 나지 않는 성능을 보여주기도 합니다. 따라서 96kHz, 192kHz를 지원하는 기기를 48kHz, 44.1kHz 셋팅으로 사용하는 것은 큰 도움이 될 수 있습니다.
-</bootnote>
-[[https://www.audiomasterclass.com/newsletter/should-i-record-at-44-1-khz-or-96-khz]]
+{{tag>PCM}}

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