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music_theory:equal_temperament

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music_theory:equal_temperament [2024/04/05] – 정승환music_theory:equal_temperament [2026/10/04] (현재) – 정승환
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-======평균률======+====== 평균률 ======
  
-피타고라스의 평균률은, 3/2 의 간격으로 모든 음을 구해낼 수 있다는 가정으로 출발하였지만, 가정 자체가 모순을 가지고 있었고, (간격이 완벽하지 않았다.) 순정률은, 모든 배음을 완벽하게 얻어내는 조율법이고, 그것으로 얻은 스케일 자체가 완벽했지만, 반음 간격이 일정하지 않았다. 그래서 조 옮김을 할 수 없었기 때문에, 음악가들은 더 많은 표현을 하기 위해서 조를 옮길 수 있는 새로운 조율법을 찾게 되었다.+**Equal Temperament**
  
-일반적으로 배음이 울릴 때에+음악 역사에서 음율 체계(Tuning System)의 발전은 악기의 공명(화음의 완벽함)과 조 옮김(Transposition)의 자유도를 확보하기 위한 끊임없는 타협의 과정이었다.
  
-1f 기음에 배음이 2f 3f 4f 5f 6f 이렇게 완벽하게 울리는 현상이 나타나게 되는데 그렇지 않고,+===== 음률 발전의 역사적 배경 ===== 
 +  * **피타고라스 음률 (Pythagorean Tuning)** 
 +    * 완전 5도($3:2$)의 비율을 연속적으로 쌓아 올려 12음계를 만드는 방식이다. 
 +    * 수학적으로 완벽해 보이지만, 12번을 쌓은 $B\#$과 7옥타브 위 $C$ 사이에 미세한 오차(**피타고라스 콤마**, 약 $23.46\,cent$)가 발생하여 완전한 옥타브 순환이 불가능한 모순을 가진다. 
 +  * **순정률 (Just Intonation)** 
 +    * 자연계의 배음렬(Harmonic Series) 정수비($1:2, 2:3, 3:4, 4:5$ 등)를 그대로 사용하여 음정을 조율하는 방식이다. 
 +    * 화음이 물리적으로 완벽한 공명(Beat 없는 맑은 울림)을 이루지만, 반음 및 온음의 간격(대온음 $9:8$, 소온음 $10:9$)이 일정하지 않다. 
 +    * 이로 인해 키를 바꾸면(조 옮김) 특정 음정 간격이 심하게 틀어져 불협화음이 발생하므로 조 옮김이나 조 바꿈이 불가능하다. 
 +  * **중성률 (Meantone Temperament)** 
 +    * 순정률의 일정한 장3도를 유지하면서 5도 음정을 살짝 좁혀 반음 간격을 조정하려 했던 과도기적 조율법이다. 
 +    * 특정 조(Key)에서는 아름다운 화음을 내지만, 사용할 수 없는 조(울프 토너리티)가 존재한다는 한계가 있었다.
  
-1f, 2.03f, 2.98f 4.07f 5.3f 6.08f 등 배음이 약간씩 오차가 있더라도 사람들은 그 각각의 음으로 인식하지 않고, 원래의 기음으로 음정을 인식하게 된다.+===== 인간 청각의 인지 특성: 비조화성(Inharmonicity) ===== 
 +자연계의 진동체에서 배음이 발생할 때, 이론적으로는 기음 $1f$에 대해 배음이 정확히 정수배($2f, 3f, 4f, 5f\dots$)로 울린다. 
  
-그래서, 순정률 조율이 가장 완벽하게 정확한 조율일지라도, 약간씩 그 조율을 조정해도, 사람들은 화음을 받아들일 수 있다.+그러나 실제 현이나 악기에서는 재질의 강성(Stiffness)과 물리적 한계로 인해 $1f, 2.03f, 2.98f, 4.07f, 5.3f\dots$와 같이 실제 배음 주파수에 약간의 오차가 발생하며, 이를 **비조화성(Inharmonicity)**이라고 한다.
  
-그런데 순정률로 조율을 하게 되면, 반음 간격이 일정하지 않기 때문에, 원래의 온음계 톤들은 그대로 놔두고, 반음 간격을 일정하계 나오도록 살짝 수정하여 음계를 쓰기도 했는데, 그것을 중간 음계라고 한다. 하지만 중간 음계를 쓰더라도, 조 옮김에 문제가 있어서,+사람의 뇌는 정수배에서 살짝 비껴난 배음 오차가 존재하더라도 이를 별개의 음으로 분리하지 않고 하나의 기음과 착색된 음색(Timbre)으로 인식한다. 이러한 청각 인지의 유연성 덕분에, 순정률의 완벽한 물리적 비율을 조금 변형하더라도 인간은 화음을 자연스럽게 받아들일 수 있다.
  
-한 옥타브 안의 모든 간격을 동일한 배수로 맞춰서 조율하기 시작했다+===== 12평균률의 수학적 원리 ===== 
 +**평균률(12-Equal Temperament, 12-TET)**은 한 옥타브($2:1$ 주파수 비율)를 수학적으로 **동일한 등비비율**로 12등분 한 조율법이다.
  
-이것이 평균률이다.+기준음 $A_4 = 440\,\mathrm{Hz}$를 설정하면, 한 옥타브 위 $A_5 = 880\,\mathrm{Hz}$가 된다. 
 +반음 올릴 때마다 곱해지는 공비를 $X$라고 할 때:
  
-기준 기음 주파수를 예를 들면, 440Hz(A) 로 놓으면, 한옥타브 위는 880Hz이다.+$$440 \cdot X^{12} = 880$$
  
-  * 440 곱하기 “X” = A# +$$X^{12} = 2$$
-  * A# 곱하기 “X” = B +
-  * B 곱하기 “X” = C +
-  * C 곱하기 “X” = C# +
-  * C# 곱하기 “X”= D +
-  * D 곱하기 “X” = D# +
-  * ……………. +
-  * G 곱하기 “X” = G# +
-  * G# 곱하기 “X” = A(한옥타브 높은)+
  
-가 되는 X 를 모두 같은 값을 쓰자는 것이다.+$$X = \sqrt[12]{2} \approx 1.059463$$
  
-그러면 440 곱하기 X * X *X …..* X(12회)를 하면 880이 나온다.+즉, 임의의 음에서 반음 위로 올라갈 때마다 주파수에 약 **$1.059463$**을 곱하고, 반음 내려갈 때마다 이 값으로 나눈다. 
  
-<m>440 * X^12 = 880</m> +1옥타브의 음정 폭을 **$1200\,cent$**로 정의하므로, 평균률에서 반음 1개의 간격은 정확히 **$100\,cent$**가 된다.
-<m>X^12=2</m> +
-<m>X= root{12}{2}</m>+
  
-그래서 그 X 의 값을 구하면 대략 X ≈ 1.059 이다. +===== 평균률과 순정률의 계산값 비교 ===== 
- +$A_4 = 440\,\mathrm{Hz}$를 기준으로 산출한 평균률의 $C_4$ 주파수($261.63\,\mathrm{Hz}$)를 기준으로 삼아 순정률 음계와 비교한 수치는 다음과 같다.
-이 값을 100cent 라고 하면, 한 옥타브는 1200cent 가 된다. +
- +
-따라서 440hz 를 기준으로 이 r 값을 곱하면, 반음 높은음(A#) r 값을 나누면, 반음 낮은음(G#) +
-이렇게 각각의 반음 간격이 동일하다. +
- +
-평균률은 A=440 을 기준으로 잡아서 C 의 값을 평균률로 구하면 261.63hz 이고 +
-순정률도 비교 해보기 위해 그 261.62hz 로 순정률 음계를 구해보았다. +
- +
-^  음정  ^  평균률  ^^^  순정률  ^^^ +
-|  C  |  2<sup>(0/12)</sup>:1  |  261.63hz  |  0cent  |  1:1  |  261.63hz  |  0 cent  | +
-|  D  |  2<sup>(2/12)</sup>:1  |  293.66hz  |  200cent  |  9:8  |  294.33hz  |  203.91cent  | +
-|  E  |  2<sup>(4/12)</sup>:1  |  329.63hz  |  400cent  |  5:4  |  327.03hz  |  386.31cent  | +
-|  F  |  2<sup>(5/12)</sup>:1  |  349.23hz  |  500cent  |  4:3  |  348.84hz  |  498.04cent  | +
-|  G  |  2<sup>(7/12)</sup>:1  |  392.99hz  |  700cent  |  3:2  |  392.44hz  |  701.96cent  | +
-|  A  |  2<sup>(9/12)</sup>:1  |  440hz  |  900cent  |  5:3  |  436.05hz  |  884.36cent  | +
-|  B  |  2<sup>(11/12)</sup>:1  |  493.88hz  |  1100cent  |  15:8  |  490.55hz  |  1088.27cent  | +
-|  C  |  2<sup>(12/12)</sup>:1  |  523.25hz  |  1200cent  |  2:1  |  523.25hz  |  1200cent  | +
- +
-2<sup>(0/12)</sup>=1, 2<sup>(12/12)</sup>=2 +
- +
-이렇게 구한 평균률 음계는, 옥타브가 올라가거나 내려가거나 항상 옥타브 사이에 12개의 음의 간격이 동일하다. +
- +
-따라서 조 옮김이 가능하고, 조 옮김이 가능하다는 점 때문에 새로운 많은 음악 기법이 가능하게 되었다. +
- +
-모드의 사용이 가능하게 되었고, 모달 인터체인지가 가능해졌다. +
-또한, 세컨더리 도미넌트 등이 가능하게 되었고, 도미넌트 화성들이 비약의 발전을 이룰 수 있었다. 그래도 이 음계로 이루어진 하모니는 순정률처럼 완벽한 하모니는 아니다. 약간의 안어울림이 있지만, 인간의 뇌의 인지를 속일 수 있는 정도는 되었던 것이다.+
  
 +^ 음정 ^ 평균률 비율 ^ 평균률 주파수 ^ 평균률 Cents ^ 순정률 비율 ^ 순정률 주파수 ^ 순정률 Cents ^
 +| **C** | $2^{0/12} : 1$ | $261.63\,\mathrm{Hz}$ | $0\,cent$ | $1 : 1$ | $261.63\,\mathrm{Hz}$ | $0\,cent$ |
 +| **D** | $2^{2/12} : 1$ | $293.66\,\mathrm{Hz}$ | $200\,cent$ | $9 : 8$ | $294.33\,\mathrm{Hz}$ | $203.91\,cent$ |
 +| **E** | $2^{4/12} : 1$ | $329.63\,\mathrm{Hz}$ | $400\,cent$ | $5 : 4$ | $327.03\,\mathrm{Hz}$ | $386.31\,cent$ |
 +| **F** | $2^{5/12} : 1$ | $349.23\,\mathrm{Hz}$ | $500\,cent$ | $4 : 3$ | $348.84\,\mathrm{Hz}$ | $498.04\,cent$ |
 +| **G** | $2^{7/12} : 1$ | $392.99\,\mathrm{Hz}$ | $700\,cent$ | $3 : 2$ | $392.44\,\mathrm{Hz}$ | $701.96\,cent$ |
 +| **A** | $2^{9/12} : 1$ | $440.00\,\mathrm{Hz}$ | $900\,cent$ | $5 : 3$ | $436.05\,\mathrm{Hz}$ | $884.36\,cent$ |
 +| **B** | $2^{11/12} : 1$ | $493.88\,\mathrm{Hz}$ | $1100\,cent$ | $15 : 8$ | $490.55\,\mathrm{Hz}$ | $1088.27\,cent$ |
 +| **C** | $2^{12/12} : 1$ | $523.25\,\mathrm{Hz}$ | $1200\,cent$ | $2 : 1$ | $523.25\,\mathrm{Hz}$ | $1200\,cent$ |
  
 +===== 평균률의 음악적 의의 =====
 +  * **자유로운 조 옮김과 화성학의 발전**: 어떤 키(Key)로 조를 옮겨도 음정 구조와 조화의 균형이 동일하게 유지된다.
 +  * **근대 화성학의 기틀**: 세컨더리 도미넌트(Secondary Dominant), 모달 인터체인지(Modal Interchange), 모드(Mode) 활용, 서브스티튜트 도미넌트 등 복잡한 기능화성학적 전조 및 변주 기법을 실현 가능하게 만들었다.
 +  * **음악적 타협점**: 평균률의 장3도(400 cent)는 순정률의 장3도(386 cent)보다 약 14 cent 높아서 엄밀히는 미세한 맥동(Beat) 불협화가 발생한다. 하지만 인간 뇌의 인지적 수용 범위를 만족시키면서 조 옮김의 무한한 표현성을 얻어낸 근대 음악의 위대한 타협이라 할 수 있다.
  
 +----
  
 +> 평균률은 물리적 완벽함(순정률)을 살짝 양보하는 대신, 자유로운 조 옮김과 다양성이라는 화성학적 무한함을 얻어낸 **음악과 수학의 완벽한 타협점**이다.
  
 +{{tag>평균률}}
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