목차
평균률
Equal Temperament
음악 역사에서 음율 체계(Tuning System)의 발전은 악기의 공명(화음의 완벽함)과 조 옮김(Transposition)의 자유도를 확보하기 위한 끊임없는 타협의 과정이었다.
음률 발전의 역사적 배경
- 피타고라스 음률 (Pythagorean Tuning)
- 완전 5도($3:2$)의 비율을 연속적으로 쌓아 올려 12음계를 만드는 방식이다.
- 수학적으로 완벽해 보이지만, 12번을 쌓은 $B\#$과 7옥타브 위 $C$ 사이에 미세한 오차(피타고라스 콤마, 약 $23.46\,cent$)가 발생하여 완전한 옥타브 순환이 불가능한 모순을 가진다.
- 순정률 (Just Intonation)
- 중성률 (Meantone Temperament)
- 순정률의 일정한 장3도를 유지하면서 5도 음정을 살짝 좁혀 반음 간격을 조정하려 했던 과도기적 조율법이다.
- 특정 조(Key)에서는 아름다운 화음을 내지만, 사용할 수 없는 조(울프 토너리티)가 존재한다는 한계가 있었다.
인간 청각의 인지 특성: 비조화성(Inharmonicity)
자연계의 진동체에서 배음이 발생할 때, 이론적으로는 기음 $1f$에 대해 배음이 정확히 정수배($2f, 3f, 4f, 5f\dots$)로 울린다.
그러나 실제 현이나 악기에서는 재질의 강성(Stiffness)과 물리적 한계로 인해 $1f, 2.03f, 2.98f, 4.07f, 5.3f\dots$와 같이 실제 배음 주파수에 약간의 오차가 발생하며, 이를 비조화성(Inharmonicity)이라고 한다.
사람의 뇌는 정수배에서 살짝 비껴난 배음 오차가 존재하더라도 이를 별개의 음으로 분리하지 않고 하나의 기음과 착색된 음색(Timbre)으로 인식한다. 이러한 청각 인지의 유연성 덕분에, 순정률의 완벽한 물리적 비율을 조금 변형하더라도 인간은 화음을 자연스럽게 받아들일 수 있다.
12평균률의 수학적 원리
평균률(12-Equal Temperament, 12-TET)은 한 옥타브($2:1$ 주파수 비율)를 수학적으로 동일한 등비비율로 12등분 한 조율법이다.
기준음 $A_4 = 440\,\mathrm{Hz}$를 설정하면, 한 옥타브 위 $A_5 = 880\,\mathrm{Hz}$가 된다. 반음 올릴 때마다 곱해지는 공비를 $X$라고 할 때:
$$440 \cdot X^{12} = 880$$
$$X^{12} = 2$$
$$X = \sqrt[12]{2} \approx 1.059463$$
즉, 임의의 음에서 반음 위로 올라갈 때마다 주파수에 약 $1.059463$을 곱하고, 반음 내려갈 때마다 이 값으로 나눈다.
1옥타브의 음정 폭을 $1200\,cent$로 정의하므로, 평균률에서 반음 1개의 간격은 정확히 $100\,cent$가 된다.
평균률과 순정률의 계산값 비교
$A_4 = 440\,\mathrm{Hz}$를 기준으로 산출한 평균률의 $C_4$ 주파수($261.63\,\mathrm{Hz}$)를 기준으로 삼아 순정률 음계와 비교한 수치는 다음과 같다.
| 음정 | 평균률 비율 | 평균률 주파수 | 평균률 Cents | 순정률 비율 | 순정률 주파수 | 순정률 Cents |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | $2^{0/12} : 1$ | $261.63\,\mathrm{Hz}$ | $0\,cent$ | $1 : 1$ | $261.63\,\mathrm{Hz}$ | $0\,cent$ |
| D | $2^{2/12} : 1$ | $293.66\,\mathrm{Hz}$ | $200\,cent$ | $9 : 8$ | $294.33\,\mathrm{Hz}$ | $203.91\,cent$ |
| E | $2^{4/12} : 1$ | $329.63\,\mathrm{Hz}$ | $400\,cent$ | $5 : 4$ | $327.03\,\mathrm{Hz}$ | $386.31\,cent$ |
| F | $2^{5/12} : 1$ | $349.23\,\mathrm{Hz}$ | $500\,cent$ | $4 : 3$ | $348.84\,\mathrm{Hz}$ | $498.04\,cent$ |
| G | $2^{7/12} : 1$ | $392.99\,\mathrm{Hz}$ | $700\,cent$ | $3 : 2$ | $392.44\,\mathrm{Hz}$ | $701.96\,cent$ |
| A | $2^{9/12} : 1$ | $440.00\,\mathrm{Hz}$ | $900\,cent$ | $5 : 3$ | $436.05\,\mathrm{Hz}$ | $884.36\,cent$ |
| B | $2^{11/12} : 1$ | $493.88\,\mathrm{Hz}$ | $1100\,cent$ | $15 : 8$ | $490.55\,\mathrm{Hz}$ | $1088.27\,cent$ |
| C | $2^{12/12} : 1$ | $523.25\,\mathrm{Hz}$ | $1200\,cent$ | $2 : 1$ | $523.25\,\mathrm{Hz}$ | $1200\,cent$ |
평균률의 음악적 의의
- 자유로운 조 옮김과 화성학의 발전: 어떤 키(Key)로 조를 옮겨도 음정 구조와 조화의 균형이 동일하게 유지된다.
평균률은 물리적 완벽함(순정률)을 살짝 양보하는 대신, 자유로운 조 옮김과 다양성이라는 화성학적 무한함을 얻어낸 음악과 수학의 완벽한 타협점이다.
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