평균률
피타고라스 음률은, 3/2 의 간격으로 모든 음을 구해낼 수 있다는 가정으로 출발하였지만, 가정 자체가 모순을 가지고 있었고,(간격이 완벽하지 않았다.) 순정률은 모든 배음을 완벽하게 얻어내는 조율법이고, 그것으로 얻은 스케일 자체가 완벽했지만, 반음 간격이 일정하지 않았다. 그래서 조 옮김을 할 수 없었기 때문에, 음악가들은 더 많은 표현을 하기 위해서 조를 옮길 수 있는 새로운 조율법을 찾게 되었다.
일반적으로 배음이 울릴 때에
1f 기음에 배음이 2f, 3f, 4f, 5f, 6f 이렇게 완벽하게 울리는 현상이 나타나게 되는데 그렇지 않고,
1f, 2.03f, 2.98f, 4.07f, 5.3f, 6.08f 등 배음이 약간씩 오차가 있더라도 사람들은 그 각각의 음으로 인식하지 않고, 원래의 기음으로 음정을 인식하게 된다.
그래서, 순정률 조율이 가장 완벽하게 정확한 조율이지만 약간씩 그 조율을 조정하여 순정률이 아니더라도 사람들은 화음을 받아들일 수 있다.
또한, 순정률로 조율을 하게 되면, 반음 간격이 일정하지 않기 때문에, 원래의 온음계 톤들은 그대로 놔두고, 반음 간격을 일정하계 나오도록 살짝 수정하여 음계를 쓰기도 했는데, 그것을 중간 음계라고 한다. 하지만 중간 음계를 쓰더라도, 조 옮김에 문제가 있어서, 한 옥타브 안의 모든 간격을 동일한 배수로 맞춰서 조율하기 시작했다
그래서 평균률이 등장한다.
기준 기음 주파수를 예를 들면, 440Hz(A) 로 놓으면, 한옥타브 위는 880Hz이다.
- 440 곱하기 “X” = A#
- A# 곱하기 “X” = B
- B 곱하기 “X” = C
- C 곱하기 “X” = C#
- C# 곱하기 “X”= D
- D 곱하기 “X” = D#
- …………….
- G 곱하기 “X” = G#
- G# 곱하기 “X” = A(한옥타브 높은)
가 되는 X 를 모두 같은 값을 쓰자는 것이다.
그러면 440 곱하기 X * X *X …..* X(12회)를 하면 880이 나온다.
그래서 그 X 의 값을 구하면 대략 X ≈ 1.059 이다.
이 값을 100cent 라고 하면, 한 옥타브는 1200cent 가 된다.
따라서 440hz 를 기준으로 이 X 값을 곱하면, 반음 높은음(A#) X 값을 나누면, 반음 낮은음(G#) 이렇게 각각의 반음 간격이 동일하다.
평균률은 A=440 을 기준으로 잡아서 C 의 값을 평균률로 구하면 261.63hz 이고 순정률도 비교 해보기 위해 그 261.62hz 로 순정률 음계를 구해보았다.
| 음정 | 평균률 | 순정률 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | 2(0/12):1 | 261.63hz | 0cent | 1:1 | 261.63hz | 0 cent |
| D | 2(2/12):1 | 293.66hz | 200cent | 9:8 | 294.33hz | 203.91cent |
| E | 2(4/12):1 | 329.63hz | 400cent | 5:4 | 327.03hz | 386.31cent |
| F | 2(5/12):1 | 349.23hz | 500cent | 4:3 | 348.84hz | 498.04cent |
| G | 2(7/12):1 | 392.99hz | 700cent | 3:2 | 392.44hz | 701.96cent |
| A | 2(9/12):1 | 440hz | 900cent | 5:3 | 436.05hz | 884.36cent |
| B | 2(11/12):1 | 493.88hz | 1100cent | 15:8 | 490.55hz | 1088.27cent |
| C | 2(12/12):1 | 523.25hz | 1200cent | 2:1 | 523.25hz | 1200cent |
2(0/12)=1, 2(12/12)=2
이렇게 구한 평균률 음계는, 옥타브가 올라가거나 내려가거나 항상 옥타브 사이에 12개의 음의 간격이 동일하다.
따라서 조 옮김이 가능하고, 조 옮김이 가능하다는 점 때문에 새로운 많은 음악 기법이 가능하게 되었다.
모드의 사용이 가능하게 되었고, 모달 인터체인지가 가능해졌다. 또한, 세컨더리 도미넌트 등이 가능하게 되었고, 도미넌트 화성들이 비약의 발전을 이룰 수 있었다. 그래도 이 음계로 이루어진 하모니는 순정률처럼 완벽한 하모니는 아니다. 약간의 안어울림이 있지만, 인간의 뇌의 인지를 속일 수 있는 정도는 되었던 것이다.