입자 속도(Particle Velocity, $u$)는 소리 파동이 매질(공기)을 통과할 때, 매질을 구성하는 아주 작은 공기 입자(Fluid Parcel) 단위가 제자리에서 앞뒤로 진동하는 물리적인 속도를 의미한다.

매질의 온도와 밀도 조건이 일정할 때 음속(Speed of Sound, $c$)은 일정한 상수로 고정되지만, 입자 속도는 파동의 에너지(음압)에 따라 실시간으로 변동하는 값이다.

두 개념은 파동을 설명하는 완전히 다른 차원의 속도이다. 야구장의 파도타기 응원에 비유하면 쉽게 구분할 수 있다.

• 소리의 속도 (음속, $c$): 파도타기 물결 자체가 관중석을 한 바퀴 도는 전파 속도 (예: $343 \text{ m/s}$). 관중석의 배열과 조건만 같다면, 응원 소리의 크기와 무관하게 물결이 도는 속도는 일정하다.
• 입자 속도 ($u$): 물결이 지나갈 때 개별 관중(공기 입자)이 자리에서 일어났다가 다시 앉는 진동 속도. 응원을 열정적으로 할수록(음압이 클수록) 맹렬하게 일어났다가 앉게 된다. 파동이 지나가도 관중은 원래 자리로 돌아오듯, 공기 입자도 음원 쪽에서 청음자 쪽으로 날아가는 것이 아니라 제자리에서 미세하게 왕복 진동만 한다.

음장(Sound Field)을 물리적으로 해석할 때 이 두 속성의 차이가 매우 중요하다.

• 음압 (Pressure, $p$): 공기가 압축되고 팽창하는 정도를 나타내는 스칼라(Scalar) 양이다. 특정 방향성이 없이 사방으로 작용하는 압력이다. (무지향성 마이크가 수음하는 성분)
• 입자 속도 (Velocity, $u$): 특정 방향으로 입자가 진동하여 움직이는 벡터(Vector) 양이다. 크기(Speed)뿐만 아니라 움직이는 방향(+/-) 정보를 가진다. (단일지향성 및 양지향성 마이크가 감지하는 성분)

평면파를 기준으로, 음압 $p$와 입자 속도 $u$는 매질의 고유 음향 임피던스($\rho_0 c$)를 매개로 다음과 같이 비례한다.

$$u = \frac{p}{\rho_0 c}$$

[실제 크기 계산 예시] 상온($20^\circ\text{C}$) 공기 중에서 소리의 전파 속도 $c$는 약 $343 \text{ m/s}$이고, 공기의 고유 임피던스 $\rho_0 c \approx 415 \text{ Rayl}$이다. 우리가 꽤 큰 소리라고 느끼는 94 dB SPL (음압 $1 \text{ Pa}$)의 소리가 지나갈 때, 공기 입자의 실제 진동 속도를 계산해보면 다음과 같다.

$$u = \frac{1 \text{ Pa}}{415 \text{ Rayl}} \approx 0.0024 \text{ m/s} = 2.4 \text{ mm/s}$$

즉, 소리의 파동 에너지는 초당 343미터의 엄청난 속도로 날아가지만, 그 에너지를 전달하기 위해 공기 입자 자체가 제자리에서 앞뒤로 흔들리는 속도는 초당 2.4밀리미터 수준에 불과하다. 입자 속도는 음속에 비해 극도로 미세한 움직임이다.

파동의 형태가 평면파(Plane Wave)냐 구면파(Spherical Wave)냐에 따라 음압($p$)과 입자 속도($u$) 간의 관계가 완전히 달라진다.

진행하는 이상적인 평면파에서는 음압과 입자 속도가 단순 비례 관계를 형성한다.

$$u(x, t) = \frac{p(x, t)}{\rho_0 c}$$

• 동위상 (In-phase): 음압 $p$와 입자 속도 $u$의 위상차가 $0^\circ$로 완전히 일치한다. 압력이 최대일 때 공기 입자의 진동 속도도 최대가 된다.
• 순수 유효 성분: 매질을 진동시키는 에너지가 100% 외부 진행 방향으로 전파되는 유효 속도 성분만 존재한다.

점음원에서 방사되는 구면파의 입자 속도는 반지름 방향 거리 $r$과 파수 $k(=2\pi/\lambda)$에 의존하는 복소수 형태를 취한다.

$$u_r(r, t) = \frac{p(r, t)}{\rho_0 c} \left( 1 + \frac{1}{jkr} \right) = \underbrace{\frac{p(r, t)}{\rho_0 c}}_{\text{실수 성분 (전파 속도)}} - j \underbrace{\frac{p(r, t)}{\rho_0 c \cdot kr}}_{\text{허수 성분 (순환 속도)}}$$

1. 실수 성분 (유효 속도): 평면파 성분과 동일하게 에너지를 원거리로 전파시키는 성분이다.
2. 허수 성분 (무효 속도, Near-field Circulation): 음압보다 위상이 $90^\circ$ 지연된 성분이다. 음원 근처에서 파면 곡률 때문에 공기가 전방으로 압축되지 못하고 측면으로 새어나가며 음원 주변을 유체역학적으로 왕복 순환하는 속도 성분이다.

• 근수음장 ($kr \ll 1$, 즉 거리가 매우 가깝거나 저주파수일 때):
  • 허수 성분이 폭발적으로 커지면서 음압($p$)에 비해 입자 속도($u$)가 비정상적으로 급격하게 증가한다.
  • $$\lim_{kr \to 0} u_r(r, t) \propto \frac{1}{r^2}$$
  • 음향학적 현상: 지향성 마이크를 음원에 가까이 대었을 때 저음역대의 입자 속도 성분이 과도하게 수음되어 저음이 강조되는 근접 효과(Proximity Effect)의 직접적인 원인이 된다.
• 원수음장 ($kr \gg 1$, 먼 거리):
  • 허수 성분이 0에 수렴하면서 구면파의 입자 속도가 평면파 공식($u \approx p / \rho_0 c$)에 그대로 수렴하게 된다.

• https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_velocity